Ein Flugzeug steht auf einem 3000 Meter langen Laufband, so groß und breit wie eine Startbahn.

Eine Geschwindigkeits-Steuerung setzt das Laufband automatisch in Bewegung, sobald die Räder des Flugzeugs anfangen zu drehen. Und zwar mit der gleichen Geschwindigkeit, nur in die entgegengesetzte Richtung.

Das Flugzeug versucht zu starten. Was passiert? Wird es abheben?

Da raucht einem der Kopf. Ich finde es ist sehr interessant herauszufinden was passiert dann wirklich.
laufband.jpg

Meine Meinung dazu:

Erstmal muss die Masse des Flugzeuges überwunden werden, erst dann spielen die Räder keine Rolle mehr. Da aber da die Masse nur mit der Windgeschwindigkeit (Anströmgeschwindigkeit des Flügels) überwunden werden kann, bleibt das Flugzeug theoretisch auf der Stelle stehen.
Wenn der Gegenwind auf dem Laufband sagen wir 4o0 km/h ausmacht, könnte das Flugzeug abheben (400 km/h ist die minimale Abhebegeschwindigkeit). Auf einer normalen Rollbahn bei 400 km/h Rückenwind müsste das Flugzeug mindestens 800 km/h über Grund erreichen um starten zu können.

Soweit die Theorie. Da ich selber geflogen bin, aber nur Delta würde ich behaupten  – es startet. Man stelle sich ein Flugzeug auf Kufen vor, es steht im Schnee – hebt auch ab. Oder ein Wasserflugzeug auf einem Fluss, es ist absolut egal ob es Flussabwärts startet – wichtig ist, dass es gegen den Wind startet. Das Flugzeug wird ja wegen der Propeller oder Düsenturbinen angetrieben und nicht wie ein Auto über die Räder.

Wenn der Schub explosionsartig kommt wie bei einer Rakete, dann startet das Flugzeug auf jeden Fall, da das Laufband sowieso keine Wirkung hat.

Oder
„Wenn das Laufband unendlich schnell wird, wächt seine Masse laut der Relativitätstheorie ebenfalls ins unendliche und Laufband und Flugzeug kollabieren in ein schwarzes Loch“.

Praktische Auflösung: Der Kommentar vom 06. Juli 2008

Ein Flugzeug steht auf einem 3000 Meter langen Laufband
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12 Gedanken zu „Ein Flugzeug steht auf einem 3000 Meter langen Laufband

  • Dieses Experiment steht und fällt mit seiner exakten Beschreibung. Das Flugzeug kann nur abheben, wenn Luft über seine Tragflächen strömt. Das ist ja auch im Mythbusters-Video deutlich zu sehen.

    Zieht man das Laufban mit einer solchen Kraft und Beschleunigung, dass das Flugzeug still über dem Grund stehen bleibt, wird es nicht abheben.

    Da ein Flugzeug sich allerdings aufgrund seiner Antriebsart direkt an der Luft abstößt, ist es gar nicht so einfach, das Flugzeug mit einem Rollband an Ort und Stelle zu halten. Wie auch immer, die Aussage „Eine Geschwindigkeits-Steuerung setzt das Laufband automatisch in Bewegung, sobald die Räder des Flugzeugs anfangen zu drehen. Und zwar mit der gleichen Geschwindigkeit, nur in die entgegengesetzte Richtung.“ ist definitiv nicht genau genug um hier eine klare Aussage zu treffen.

  • @Manfred

    Ja, aber nur einen Starrflügler (ein besserer Drachen) ohne Motor. War fast ein Segelflugzeug, war schon toll die Fliegerei – aber die Krankenhausaufenthalte waren dagegen nicht so angenehm. Deshalb habe ich es vor 6 Jahren aufgegeben.

  • @Manfred

    Wenn der Reibungswert null ist, dann würde das Laufband absolut keine Wirkung auf die Räder haben. Hier würde der Schub das Flugzeug bewegen, da die Kraft ja nicht auf die Räder übertragen wird wie beim Auto.

    Die Erzeugung des Auftriebs ist der entscheidende Faktor warum ein Flugzeug abhebt
    Zur Erzeugung von Unterdruck auf der Tragflächenoberseite ist das Profil der Tragfläche gewölbt. Wenn sich das Flugzeug vorwärts bewegt, strömt Luft von vorn gegen die Tragfläche. Dabei teilt sich der Luftstrom auf. Die Unterseite der Tragfläche ist kaum gewölbt. Daher kann die Luft hier relativ ungestört vorbeiströmen. Auf der stark gewölbten Tragflächenoberseite wird die Luft verdrängt, muss ausweichen und dadurch einen längeren Weg zurücklegen, wodurch sich die Geschwindigkeit erhöht. Nach einem Gesetz der Strömungslehre (»Bernoulli-Gleichung«) führt bei einem Gas die Zunahme der Geschwindigkeit zu einer Verringerung des Drucks. Wegen der höheren Luftgeschwindigkeit auf der Oberseite (Saugseite) stellt sich ein kleinerer Druck als auf der Unterseite (Druckseite) ein, der Flügel wird nach oben gehoben. Die Auftriebskraft FA lässt sich Mithilfe des Auftriebsbeiwertes cA der eine dimensionslose Größe ist und von Form und Anstellwinkel des Tragflügels sowie der Anströmgeschwindigkeit abhängt, berechnen:

    FA = cA·1/2r·v2·ATF, wobei r die Luftdichte, v die Anströmgeschwindigkeit und ATF die den Auftrieb erzeugende Tragflügelfläche angibt.

  • Da könntest Du recht haben. Nehmen wir an, dieses Flugzeug steht auf der Erde und man würde die Reibung auf Null setzten, dann würde es doch stehen bleiben, oder?

  • Nachtrag:

    Wenn man die Frage liest, hat man das Bild vom Flugzeug und dem Laufband schnell im Kopf visualisiert und man macht sich daran, die Lösung zu finden. Denn die Frage erscheint nur allzu logisch und das macht die Frage zu einer fast philosophischen Debatte. Tatsächlich ist die Frage nur rein hypothetisch bzw. theoretisch zu verstehen. Denn mit Mathematik kann man sie nicht berechnen, denn es fehlen folgende entscheidende physikalischen Bestandteile:

    Einen Reibungswert der Reifen zum Laufband, der Trägheitsmoment des Laufbandes und des Flugzeuges, minimale Anströmgeschwindigkeit um abheben zu können, das Gewicht des Flugzeuges, die Schubleistung der Turbinen und wie schnell kann ich maximale Schubkraft erreichen. Die anderen Beigaben wären, aus welcher Richtung kommt der Wind, wie stark ist er, das sind Faktoren die auf das Anströmverhalten des Flügels einwirken.

    Ohne diese Grundinformationen ist eine Berechnung, die unter Bedingungen die hier auf der Erde gelten unmöglich. So kann auch das Ergebnis nicht verifiziert werden.

    Also kann diese Frage überhaupt nicht beantwortet werden. Das wäre im gleichen Falle wie die Frage, wie weit ich einen Ball werfen kann. Ohne bestimmte Parameter festgelegt zu haben, die zu einer genauen Aussage führen, kann ich keine Angaben über die Wurfweite treffen. Ohne diese Parameter ist es eine Annahme.

    Also denkt mal lieber über die Frage als Frage nach, als über die Lösung.
    Michael

  • Hallo Mad,
    herzlichen Dank für die ausführliche Beschreibung als Mathematiker. Die Frage kommt nicht von mir, der Originalartikel war in der Süddeutschen Zeitung (siehe Link unten).
    So wie ich es rauslese kann das Flugzeug nicht abheben wenn die Reibungskräfte mitberechnet werden. Sehr komplex dieses Thema.

    Die Lokführerfrage ist auch sehr gut – ohne mich jetzt in das Fettnäpfchen zu setzten – ich glaube das bremsen bringt nichts – sondern im Gegenteil, oder?

    http://www.sueddeutsche.de/,ra4m3/kultur/artikel/196/126003/
    oder
    http://1stein.org/2007/08/01/ex-falso/

  • Hier der Erklärungsversuch eines Mathematikers:

    Erstmal ist die Frage ist schlecht gestellt:
    In der Bedingung steht, dass das Rad des Flugzeugs sich mit der gleichen Geschwindigkeit dreht, wie sich das Laufband bewegt. Beim Versuch eine Drehgeschwindigkeit, deren Richtung sich ständig ändert, mit einer Translationgeschwindigkeit zu vergleichen, bin ich auf mehrere Möglichkeiten gekommen:
    1. Fall: Der Frager meint die Geschwindigkeit der Radnabe (= die Geschwindigkeit des Flugzeugs).
    2. Fall: Man nimmt den Betrag der Geschwindigkeit eines Punktes ganz außen am Rad, für die Richtung gibt es im 1-dimensionalen System zwei Möglichkeiten:in Flugrichtung und entgegen.(eindimensional heißt, es reicht die Angabe einer Koordinate aller Punkte aus um alle Konfigurationen des Systems vollständig zu beschreiben; wenn das Flugzeug abhebt und man 2 Dimensionen betrachten müsste, ist das Problem bereits gelöst )

    Weiterhin wird keine Angabe gemacht in welchem Bezugsystem die Geschwindigkeiten angegeben sind. Beim Laufband ist wohl eindeutig die Geschwindigkeit bezüglich der Erde gemeint, beim Rad ist es nicht eindeutig. Beim Flugzeug ist die Geschwindigkeit bezüglich der Erde interessant, denn die ist identisch mit der Geschwindigkeit bezüglich der Luft und die ist entscheidend für den Auftrieb.(Annahme: Kein Wind; der „Wind“ der durch die Triebwerke entsteht ist vernachläßigbar).

    Die Schubkraft ist für kleine Geschwindigkeiten näherungsweise unabhängig von der Geschwindigkeit, also auch unabhängig vom Bezugssystem.

    1. Fall:
    Unter der Annahme, die Geschwindigkeit des Rades (=Geschwindigkeit des Flugzeugs) ist im Bezugsystem der Erde angegeben, lautet die Bedingung:

    v_Laufband (bezüglich Erde) = – v_Rad (bezüglich Erde) = – v_Flugzeug (bez. Erde)

    In der Praxis bedeutet das, dass sich das Flugzeug ganz normal startet, wenn die Reibungskraft nicht Geschwindigkeitsabhängig ist. Das Rad dreht sich doppelt so schnell wie normal.

    Ist die Geschwindigkeit des Rades (= die Geschwindigkeit des Flugzeugs) im Bezugsystem des Laufbandes angegeben (das ist der Fall wenn man die Geschwindigkeit mit dem Rad-Tacho des Flugzeugs messen würde), gilt für die Geschwindigkeit im Erdsystem:

    v_Rad(bez. Erde) = v_Rad(bez. Laufband) + v_Laufband (bez. Erde)
    =>
    v_Rad(bez. Laufband) = v_Rad(bez. Erde) – v_Laufband (bez. Erde) (1)

    Da die Geschwindigkeit des Rads im System des Laufbands gleich der des Laufbands im Erdsystem sein soll, ist die Bedingung:

    v_Laufband (bezüglich Erde) = – v_Rad (bez. Laufband)
    Umrechnen auf Erdbezugssystem:
    (1) => v_Laufband (bez. Erde) = – v_Rad (bez. Erde) + v_Laufband (bez. Erde)
    0 = – v_Rad (bez. Erde) = – v_Flugzeug (bez. Erde)

    Wie man sieht bewegt sich das Flugzeug nicht.
    Wenn die Reibung nicht geschwindigkeitsabhänging ist, lautet die Bewegungsgleichung mit Anfangsbedingungf Reibungskraft, F schubkraft v = v_flug (bez Erde))
    dsolve({m*v'(t)=-f + F ,v(0)=0},v(t));
    Als Lösung kommt eine lineare Funktion v(t)= const * (f-F)*t raus, v(t) wird nur dann für alle Zeiten t gleich 0 wenn f = F (in der Realität eher nicht der Fall). Andernfalls, oder wenn gar keine Reibung vorhanden ist, führt die Bedingung zu einem Widerspruch, das Laufband müsste sich „schneller als unendlich schnell“ bewegen, damit das Kräftegleichgewicht erfüllt ist. In dem Fall ist das Laufband nicht einmal theoretisch realisierbar. Die Frage, ob das Flugzeug abhebt, erübrigt sich, die (idealisierten) Annahmen sind nicht konsistent.
    Ist die Reibungskraft proportional zu v ….. selber ausrechnen (e-Funktion, keine Lösung für alle t)

    2.Fall:
    Sieht man in der Geschwindigkeit des Rades die betragsmäßige Geschwindigkeit eines Punktes aussen am Rad (in Richtung entgegen Flugrichtung) dann ist die Radgeschwindigkeit(bezüglich Laufband) = 0 , d.h. das Rad rollt ganz normal ab. Bremst der Pilot bis zum Stillstand des Rades(bezüglich Flugzeug) und das Rad rutscht durch, siehe Fall 1.

    Ist die Radgeschwindigkeit bezüglich des Laufbands gemeint lautet die Bedingung aus der Aufgabenstellung:

    v_Rad (bez. laufband) = – v_laufband (bez. Erde)

    v_Rad (bez laufband) ist laut Annahme oben 0, also ist v_laufband (bez Erde) = 0 , die Annahme oben und die Bedingung aus der Aufgabenstellung sind äquivalent, es gibt unendlich viele Lösungen für v_Flugzeug (kommt ja nicht in der Gleichung vor), das Laufband bewegt sich nicht. Der Fall ist übrigens trivial (für die, die Rechnung nicht verstanden haben)
    Das Flugzeug kann ganz normal starten.

    Betrachtet man die Radgeschwindigkeit bezüglich der Erde:
    Bedingung aus der Aufgabe:
    v_Rad (bez. Erde) = – v_laufband (bez. Erde)
    Annahmen oben:
    v_Rad (bez. Laufband) = 0
    umrechnen in Koordinatensystem Erde:
    v_Rad (bez. Erde) + v_Laufband (bez. Erde) = v_Rad (bez Laufband) = 0
    v_Rad (bez. Erde) = – v_Laufband (bez Erde)
    einsetzen in Bedingung aus der Aufgabe:
    gleich wie oben

    Das ganze kann man noch unter der Transformation v_Rad(bez, Flugzeug) -> – v_Rad (bez, Flugzeug) (Die andere Richtung). betrachten.

    Betrachtet man die Radgeschwindigkeit bezüglich des Flugzeuges ergibt sich das gleiche wie beim 1.Fall vielleicht anderes vorzeichen …

    Wer mit meinen idealisierten Annahmen nicht zufrieden ist, möge selber rechnen (Hinweis: die Formel für die Luftreibung F prop v^2 ist auch nur eine Nährerung).
    Mir sind hoffentlich keine schwerwiegenden Denk- oder Vorzeichenfehler passiert.

    Ich hoffe ich bin auf alle Interpretationsmöglichkeiten der Fragestellung eingegangen.

    ERKLÄRUNG

    Ich geb zu die Rechnerei von einem Bezugsystem in ein anderes sind etwas verwirrend. Ich versuch nochmal meine 2.Betrachtung in Worte zu fassen:
    Wenn der Rad-Tacho des Flugzeugs genau den gleichen Wert anzeigt wie der „Tacho“ des Laufbands, dann müssen wir die Geschwindigkeit beider Tachowerte addieren, um die Geschwindigkeit des Flugzeuges zu berechnen: Der „Tachowert“ des Laufbands ist laut Vorraussetzung gleich groß nur mit entgegengesetztem Vorzeichen, wenn wir die beiden Tachowerte addieren ergibt sich null, das Flugzeug bewegt sich also nicht bezüglich der Erde.
    Den Umweg über die Tachowerte hab ich nur gemacht, damit eindeutig ist, in welchem Bezugsystem sie gelten. Wenn man irgendwelche Geschwindigkeiten betrachtet, muss man immer drauf achten, in welchem Bezugssystem sie angegeben sind, wenn nicht muss man halt eine Koordinatentransformation machen (Um was anderes geht es in der Aufgabe garnicht)

    Wenn die Triebwerke stark genug sind oder es keine Reibung gibt, dann bewegt sich das Flugzeug nunmal und die Randbedingung aus der Aufgabenstellung ist verletzt. Die Frage, ob das Flugzeug abhebt, erübrigt sich, die (idealisierten) Annahmen sind eben nicht konsistent. Man kann natürlich die Reibung so hinbasteln, dass die Reibungskraft genausogroß wie der Triebwerksschub ist, dann bleibt das Flugzeug natürlich auch stehen. (Das ist der Fall F = f in meinem vorherigen Post). Dies ist der einzige Fall in dem die Bedingungen aus der Aufgabenstellung erfüllt wird.

    Wenn sich das Flugzeug nicht bewegt bezüglich der Erde, wird das Flugzeug auch nicht abheben (sonst müsste das Flugzeug auch mit angezogener Bremse auf der Stelle abheben können.)

    So, ich hoffe ich hab mich klarer ausgedrückt.

    Ich hab da noch eine andere Fangfrage, die aber wesentlich leichter zu durchschauen ist:

    Zwei Lokführer fahren mit ihrer Lok den Berg hoch, die Lok schafft es geradeso. Als sie oben angekommen sind sagt der eine zum anderen: Gut dass ich die Bremse gezogen habe, sonst wären wir vielleicht zurückgerollt. Hat er recht?

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